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任取一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將其除以2。如果是奇數(shù)，將其乘以3再加1，然后重復這個過程，最后結果都是1。
這個問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數(shù)學史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數(shù)學這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。
不少資深數(shù)學家警告稱，這個問題簡直有毒，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。密歇根大學數(shù)學家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias表示：“這是一個危險的問題，很多人為其如癡如醉，但目前看真的不可能解決。”
但不信邪的人總是有的。陶哲軒就是其中之一，他已經(jīng)取得了迄今為止在克拉茨猜想問題上走的最遠的成果。
9月8日，陶哲軒在個人博客上貼出了一份證明，表明了至少對絕大部分自然數(shù)，克拉茨猜想都是正確的。盡管這份證明算不上是完整證明，但已經(jīng)算是在這個堪稱“有毒”的問題上取得的重大進展。
“我沒指望能完全解決這個問題，但目前取得的進展已經(jīng)超出了我的預期。”陶哲軒說。
克拉茨猜想：最簡單的“不可能解決”的問題
克拉茨猜想據(jù)稱是上世紀30年代由德國數(shù)學家Lothar Collatz提出的。但其具體出處不詳，已知的，從西拉古斯大學大學傳到貝爾實驗室，再到芝加哥大學。因早期有眾多的傳播者，所以在傳播過程中，克拉茨猜想收獲了許多名字：3n+1猜想、奇偶歸一猜想、烏拉姆(Ulam)問題、角谷猜想等。
其表述形式之簡單讓它聽起來像是聚會上的一個游戲。對于任何一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則將其乘以3并加1。如果是偶數(shù)，則將其除以2。不斷重復這個過程，最后會發(fā)生什么？
直覺上看，你可能會覺得最開始的數(shù)字不同會影響最終得到的結果。也許某些數(shù)字為開端，最后的結果是1，而以另外一些數(shù)字為開端，則會趨于無窮大。
但是克拉茨預測并非如此。他推測，如果最開始的數(shù)是正整數(shù)，重復這個過程的次數(shù)足夠多，則無論最開始的數(shù)是多少，最終結果都將是1。這之后，1成為初始數(shù)，會陷入循環(huán)：1、4、2 、1、4，2，1……
多年以來，許多人都對克拉茲猜想的表述之簡單（該猜想又被稱為著名的“ 3x +1問題”）而對這個問題深深著迷。目前，數(shù)學家們測試了幾百億億個數(shù)，結果克拉茨猜想全部是正確的。
“這個問題看上去沒有任何理解門檻，你只要知道‘乘以3’和‘除以2’，就可以完全理解。數(shù)學家馬克·錢伯蘭（Marc Chamberland）說，誘人之處正在于此。Chamberland曾經(jīng)自制了一段關于該問題的YouTube熱門視頻，稱這個問題為“最簡單的不可能解決的問題”。
以下是一個克拉茨猜想驗證網(wǎng)頁，大家可以自己試試。
https://www.dcode.fr/collatz-conjecture
雖然克拉茨猜想的表述和理解都非常簡單，但嚴格證明卻非常困難。
上世紀70年代，數(shù)學家證明，幾乎所有的克拉茨數(shù)列，即重復克拉茨猜想的計算過程中得到的數(shù)列，最后得到的數(shù)字都將小于第一個數(shù)字，顯然這是個不完全證明。但也有證據(jù)表明，幾乎所有克拉茨數(shù)列的最終值都在向1靠近。
從1994年以來，一直到陶哲軒今年取得新進展之前，Ivan Korec保持著對這個問題證明的最佳記錄，數(shù)列的最終值在逐步變小。但距離問題的核心仍然有很大距離。
隨著時間的推移，很多數(shù)學家得出這樣的結論，即：克拉茨猜想證明問題完全超出了當前的理解范圍，因此最好將精力花在其他問題上，因為再繼續(xù)下去也是徒勞。
南卡羅來納大學的喬舒亞·庫珀在一封電子郵件中說：“克拉茨猜想是一個眾所周知的難題，以至于數(shù)學家傾向于在每次討論前都加上一個警告，以免浪費時間對它進行研究。”
意外的提示：陶哲軒從匿名網(wǎng)友留言獲啟發(fā)
早在40年前，Lagarias就對這個猜想深感興趣，當時他還是一個學生。幾十年來，他一直充當克拉茨猜想問題非官方信息收集人。他整理了與該問題相關的論文庫，并于2010年以《極限挑戰(zhàn)：3x+1問題》為題將其中一些論文成集出版。
Lagarias說：“現(xiàn)在，在我對這個問題有了更多了解之后，我仍然覺得它是不可能解決的。”
陶哲軒通常不會在“不可能解決”的問題上浪費時間。2006年，他獲得了數(shù)學領域的最高榮譽“菲爾茲獎”，被廣泛認為是年輕一代中最杰出的數(shù)學家之一。他習慣于解決問題，而不是追逐夢想。
陶哲軒曾說：“數(shù)學家這個頭銜實際上對職業(yè)生涯是有害的。它可能導致一個人沉迷于一些重量級問題，這些問題超出了任何人的能力，會浪費很多時間。”
但陶哲軒也不是完全不碰這些問題。每年，他都會選擇一個尚未解決的著名問題中嘗試一兩天。多年來，他為解決克拉茨猜想問題作了幾次嘗試，但都沒有成功。
今年8月，一位匿名讀者在他的個人博客上發(fā)表了評論，建議他嘗試去解決“幾乎所有”數(shù)字的克拉茨猜想，而不是嘗試完全解決。
陶哲軒說：“我沒有回復，但這條留言確實讓我再次考慮了這個問題。”
他意識到，Collatz猜想在某種程度上類似于一種方程式的形式，即偏微分方程，他正是這個領域取得了職業(yè)生涯中一些最重要的成果。
輸入和輸出：來自偏微分方程的啟示
偏微分方程可以用于模擬宇宙中許多最基本的物理過程，例如流體的演化或重力在時空中的波動。它們發(fā)生在系統(tǒng)的未來位置（例如將石頭扔進池塘后五秒鐘的狀態(tài)）取決于兩個或多個因素（例如水的粘度和速度）的影響的情況下。看上去，復雜的偏微分方程似乎與克拉茨猜想這樣的簡單算術問題無關。
但陶哲軒意識到，二者之間有相似之處。使用偏微分方程，也可以插入一些值，獲取其他值，再重復這一過程。所有這些都是為了了解系統(tǒng)的未來狀態(tài)。對于任何給定的偏微分方程，數(shù)學家都想知道，某些初始值最終會導致無窮大的輸出值，還是會產(chǎn)生有限值，而不管以什么值作為開頭。
在陶哲軒看來，偏微分方程和克拉茨猜想具有相同的風格。因此，他認為研究偏微分方程的思路也可以應用于克拉茨猜想的證明。
一種特別有用的技術涉及一種統(tǒng)計方法，可以用于研究少量初始值（例如，池塘中水的少量初始配置）的長期行為，并以此出發(fā)推斷所有可能初始設置下的長期行為。
如果引申到克拉茨猜想上，可以理解為從大量數(shù)字樣本開始，目標是研究在應用克拉茨流程時這些數(shù)字的行為。如果樣本中接近100％的數(shù)字最終恰好等于1或非常接近1，您可能會得出結論，幾乎所有數(shù)字的行為方式都是相同的。
但是要使結論正確，必須非常仔細地構建樣本。就像在總統(tǒng)選舉中構建選民樣本一樣。為了從民調中準確地推斷出整個人口的投票意愿，需要以正確比例對共和黨人、民主黨人，以男女同等的權重對樣本進行加權。
數(shù)字具有自己的“人口統(tǒng)計學”特征。比如存在奇偶性、是3的倍數(shù)，或者數(shù)字之間通過其他微妙的方式體現(xiàn)彼此的不同。構造數(shù)字樣本時，可以將其加權為包含某些種類、但不包含其他種類的數(shù)字。選擇的權重質量越好，就越能得出關于整體數(shù)字的結論。
小心探尋數(shù)字加權，陶哲軒給出克拉茨猜想最強證明
陶哲軒所面臨的挑戰(zhàn)遠比弄清楚如何用合適的權重創(chuàng)建一個初始數(shù)字樣本要困難得多。在Collatz過程的每一個步驟中，處理的數(shù)字都在變化。一個明顯的變化是，樣本中幾乎所有的數(shù)字都變小了。
另一個可能不那么明顯的變化是，這些數(shù)字可能會開始聚集在一起。例如，你可以從一個均勻的分布開始，比如從1到100萬的數(shù)字。但是經(jīng)過五次Collatz迭代之后，這些數(shù)字很可能集中在數(shù)軸上的幾個小區(qū)間內。換句話說，你可能一開始有一個很好的樣本，但是五步之后，它就完全扭曲了。
陶哲軒在一封電子郵件中說：“通常情況下，人們會認為迭代后的分布與最初的分布完全不同。”
陶哲軒的關鍵見解是找出如何在整個Collatz過程中選擇一個很大程度上保持原有權重的數(shù)字樣本。
例如，陶哲軒的初始樣本加權后不包含3的倍數(shù)，因為Collatz過程很快就排除了3的倍數(shù)。陶哲軒提出的其他一些權重更復雜。他把初始樣本的權重取為除以3后余數(shù)為1的數(shù)字，而不是除以3后余數(shù)為2的數(shù)字。
結果是，即使在Collatz過程繼續(xù)進行時，陶哲軒的初始樣本仍然保持其特性。
“他找到了進一步推進這個過程的方法，這樣經(jīng)過一些步驟之后，你仍然知道發(fā)生了什么，”Soundararajan說。“當我第一次看到這篇論文時，我非常激動，認為它非常引人注目。”
陶哲軒使用這種加權技術證明了，幾乎所有的Collatz初始值(99%甚至更多)最終都達到一個非常接近1的值。這使他能夠得出99%的初始值大于1千萬億的克拉茨數(shù)列，最終結果小于200的結論。
可以說，這是該猜想歷史上最強的證明結果。
Lagarias說：“這是我們對這個問題的了解取得的一大進步。這肯定是很長一段時間以來最好的結果。”
陶哲軒的方法幾乎肯定不能完全證明克拉茨猜想。原因是他的初始樣本在過程的每一步之后仍然有一點偏斜。只要樣本中仍然包含許多與1相距甚遠的不同值，則偏差就很小。但隨著Collatz過程仍在繼續(xù)，樣本中的數(shù)字趨近于1，小的偏差效應越來越明顯——類比來說，民意調查中當樣本容量很大時，一個輕微的誤算影響不大；但當樣本量很小時，就會產(chǎn)生較大的影響。
要完全證明這個猜想，很可能需要另一種方法。因此，陶哲軒的工作既是勝利，也是對為克拉茨猜想著迷的數(shù)學家的一種警告：就在你以為自己可能已經(jīng)把問題逼到了絕路的時候，它卻溜走了。
陶哲軒說：“你可以盡可能接近克拉茨猜想，但要完全證明，目前仍然遙不可及。”
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematician-terence-tao-and-the-collatz-conjecture-20191211/
陶哲軒博客：
https://terrytao.wordpress.com/2019/09/10/almost-all-collatz-orbits-attain-almost-bounded-values/
論文：
https://arxiv.org/abs/1909.03562
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